Число Пі (Грец. prod-, перша буква грецького слова «Периферія», букв. - «Окружність») - математична константа, що дорівнює відношенню довжини кола до її діаметра. Першим ввів позначення відношення довжини кола до діаметру сучасним символом англійський математик У. Джонсон в 1706 р Загальновживаним введене Джонсоном позначення стало після робіт Л. Ейлера, який скористався цим символом вперше в 1736 р
Історія числа Пі
У глибоку давнину вважалося, що окружність рівно в 3 рази довше діаметру. Ці відомості містяться в клинописних табличках Стародавнього Межиріччя. Таке ж значення можна витягти з тексту Біблії: «І зробив він лите море, - від краю його і до краю його десять ліктів, - зовсім кругле ... і шнурок на тридцять ліктів оточив би його навколо» (3 Царств, гл. 7, ст . 6). Проте вже в 2 тисячолітті до н.е. математики Стародавнього Єгипту знаходили більш точне ставлення. Важливим досягненням геометричній науки єгиптян було дуже хороше наближення числа prod-, яке виходить з формули площі кола діаметра d:
S = (d-1 / 9d)2 = (1-1 / 9)2d2.
Цьому правилу з 50-ї задачі папірусу Райнд (приблизно 1650 до н.е.) відповідає значення prod- = 4 (8/9)2 = 3,1605. Проте яким чином єгиптяни отримали саму формулу, з контексту неясно.
У Московському папірусі є ще одна цікава задача: обчислюється поверхню кошика «з отвором 4 frac12- ». Дослідники тлумачать її по-різному, оскільки prod- в тексті не вказано, який форми була корзина. Але всі сходяться на думці, що і тут для числа prod- береться те ж саме наближене значення 4 (8/9)2. Чудово, що на всьому Стародавньому Сході при обчисленнях використовувалося значення prod- = 3. У цьому відношенні єгиптяни набагато випередили інші народи.
З VI століття до н.е. математична наука стрімко розвивалася в Стародавній Греції. Стародавні греки Евдокс Книдский, Гіппократ та ін. Вимір окружності зводили до побудови відповідного відрізка, а вимір кола - до побудови рівновеликого квадрата.
Архімед в III столітті до н.е., займаючись обчисленнями довжини кола, встановив, що «периметр всякого кола дорівнює потроєному діаметру з надлишком, який менше сьомий частини діаметра, але більше десяти сімдесят першого». За точним розрахунками Архімеда відношення окружності до діаметру укладено між числами 3 10/71 і 3 1/7, а це означає, що prod- = 3,1419 ... Інакше кажучи, Архімед вказав кордону числа:
3,1408 < prod- < 3,1428.
Значення 3 1/7 досі вважається цілком хорошим наближенням числа prod- для прикладних завдань. Більш точне наближення 3 17/120 (Prod- = 3,14166) знайшов знаменитий астроном, творець тригонометрії Клавдій Птолемей (II ст.), Але воно не увійшло у вжиток.
У священній книзі джайнізму (однієї з найдавніших релігій Індії) є вказівка, з якого випливає, що число Пі приймали рівним дробу 3,162 ... Це значення призводить індійський математик VII століття Брахмагупта.
Китайські вчені в III в. н.е. використовували для prod- значення 3 7/50, яке гірше наближення Архімеда. В кінці 5 століття китайський математик Цзу Чунчжи отримав наближення 355/113 (Prod- = 3,1415927). Воно залишилося невідомо європейцям і було знову знайдено нідерландським математиком Адріаном Антонісом лише в 1585 р
У першій половині XV в. в обсерваторії Улугбека, біля Самарканда, астроном і математик ал-Каші обчислив prod- з 16 десятковими знаками. Через півтора століття після ал-Каші в Європі Ф. Вієт знайшов число prod- тільки з 9 правильними десятковими знаками, але при цьому він зробив відкриття, що дозволило обчислювати prod- з якою завгодно точністю. На початку XVII ст. голландський математик з Кельна Лудольф ван Цейла (1540-1610) - деякі історики називають його Л.ван Кейлен - знайшов 32 знака. З тих пір (рік публікації - 1615) значення числа prod- з 32 знаками отримало назву числа Лудольфа.
У 1766 р німецький математик Йоганн Ламберт строго довів ірраціональність числа prod-: число Пі не може бути представлено простими дробами, як би не були великі чисельник і знаменник. І, тим не менш, історія числа на цьому не закінчилася.
В кінці XIX ст. професор Мюнхенського університету Карл Фердинанд Ліндеман знайшов суворе доказ того, що prod- - число не тільки ірраціональне, але і трансцендентне, тобто не може бути коренем ніякого алгебраїчного рівняння. Його доказ поставило крапку в історії найдавнішої математичної задачі про квадратуру кола. На згадку про відкриття трансцендентності числа prod- в залі перед математичної аудиторією Мюнхенського університету був встановлений бюст Ліндемана. На постаменті під його ім'ям зображений круг, пересічений квадратом рівної площі, всередині якого написана буква prod-.
У сучасній математиці число prod- - це не тільки відношення довжини кола до діаметра, воно входить у велику кількість різних формул, в тому числі і у формули неевклідової геометрії. Входить вона і в чудову формулу Л. Ейлера, яка встановлює зв'язок числа Пі числа е. Ця та інші взаємозв'язки дозволили математикам ще глибше з'ясувати природу числа prod- .
Див. Також:
- Яке точне значення числа Пі? Яка історія уточнення знаків числа Пі?
Число Пі є ірраціональним і трансцендентним, і корінь з цього числа також є нескінченною неперіодичної десятковим дробом.
Квадратний корінь числа пі (З точністю до до 40 знаків):
1,7724538509055160272981674833411451827975
Квадратний корінь числа пі (З точністю до 1000 знаків):
1.
+772453850905516027298167483341
+145182797549456122387128213807
+789852911284591032181374950656
+738544665416226823624282570666
+236152865724422602525093709602
+787068462037698653105122849925
+173028950826228932095379267962
+800174639015351479720516700190
+185234018585446974494912640313
+921775525906216405419332500906
+398407613733477475153433667989
+789365851836408795451165161738
+760059067393431791332809854846
+248184902054654852195613251561
+647467515042738761056107996127
+107210060372044483672365296613
+708094323498831668424213845709
+609120420427785778068694766570
+005218305685125413396636944654
+181510716693883321942929357062
+268865224420542149948049920756
+486398874838505930640218214029
+285811233064978945203621149078
+962287389403245978198513134871
+266512506293260044656382109675
+026812496930595420461560761952
+217391525070207792758099054332
+900662223067614469661248188743
+069978835205061464443854185307
+973574257179185635959749959952
+263849242203889103966406447293
+972841345043002140564233433039
+261756134176336320017037654163
476320669 ... і далі до нескінченності.