Чи можна замостити плосткость правильними п'ятикутниками?

Правильний п'ятикутник або пентагон (Англ. regular pentagon) - Це п'ятикутник, всі сторони і всі кути якого рівні між собою.

Формули для правильного п'ятикутника:

• Величина alpha- внутрішніх кутів правильного п'ятикутника (n = 5) Становить:
  alpha- = (n - 2) / n middot- 180 ° = (3/5) middot- 180 ° = 108 °.
• Площа правильного п'ятикутника зі стороною a розраховується за формулою:
  S = (5/4) a² ctg (pi- / 5) = (1/4) radic-5 radic- (5 + 2radic-5) a² asymp- 1,720 a².
• Площа правильного п'ятикутника, вписаного в коло радіуса R розраховується за формулою:
  S = (5/2) R² sin (2pi- / 5) = (5radic-2/ 8) radic- (5 + radic-5) R² asymp- 2,378 R².
• Площа правильного п'ятикутника, описаного навколо кола радіуса r розраховується за формулою:
  S = 5 r² tg (pi- / 5) = 5 radic- (5 - 2radic-5) r² asymp- 3,633 r².
• Висота правильного п'ятикутника зі стороною a становить:
  h = (1/2) a tg 72 ° = (1/2) radic- (5 + 2radic-5) a² = 1,539 a.
• Ставлення діагоналі d правильного п'ятикутника до його сторони a дорівнює золотому перерізу:
  d / a = (1 + radic-5) / 2 asymp- 1,618.
• Радіус r кола, вписаного в правильний п'ятикутник зі стороною a становить:
  r = (1/10) radic-5 radic- (5 + 2radic-5) a asymp- 0,688 a.
• Радіус R кола, описаного навколо правильного п'ятикутника зі стороною a становить:
  R = (1/10) radic-10 radic- (5 + radic-5) a asymp- 0,851 a.
• Радіус R кола, описаного навколо правильного п'ятикутника, можна знайти по радіусу r вписаною в нього кола за формулою:
• R = (radic-5 - 1) R asymp- 1,236 r.

Факти про правильне п'ятикутнику:

• Правильний п'ятикутник може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки, або вписуванням його в задану коло, або побудовою на основі заданої сторони. Вперше це побудова описав Евклід у своїх «Засадах» близько 300 року до н.е.
• Всі діагоналі правильного п'ятикутника рівні між собою. Разом вони утворюють п'ятикутну зірку, названу також пентаграмою. Відношення довжини діагоналі до довжини сторони правильного п'ятикутника дорівнює золотому перерізу.
• Правильними п'ятикутниками не можна замостити площину без проміжків і накладень. Це найменший за кількістю сторін правильний багатокутник, який має таку властивість.
• Додекаедр - єдиний правильний багатогранник, грані якого являють собою правильні п'ятикутник. Правильний п'ятикутник - найбільший за кількістю сторін правильний багатокутник, з яких можна зібрати правильний багатогранник.
• У природі не існує кристалів з гранями у формі правильного п'ятикутника. Однак, при формуванні водяного льоду на рівній поверхні міді при температурах 100-140 K на поверхні спочатку виникають ланцюжки молекул шириною близько 1 нм пентагональними структури.
• Правильний п'ятикутник можна отримати, зав'язавши вузлом смужку паперу, а потім сплющена вузол.
• Пентагоном називають міністерство оборони США, оскільки воно розміщується в будівлі, що має в плані форму правильного п'ятикутника (пентагона).

Джерела:

• ru.wikipedia.org - Вікіпедія: Правильний п'ятикутник
• wolframalpha.com - Wolfram | Alpha: regular pentagon (англ. Яз.)

Додатково:

• Який величини кути у правильного трикутника?
• Що таке пентаграма?
• Скільки діагоналей у п'ятикутника?
• Хто такий Евклід?
• Чому у будівлі Пентагону п'ять кутів?