Де знайти розгортки правильних багатогранників?

Визначення: Правильними називають опуклі багатогранники, всі грані яких представляють собою однакові правильні багатокутники, і в кожній вершині сходиться однакове кількість граней. Такі багатогранники називають також Платоновим тілами.

Інша еквівалентне визначення: багатогранник називається правильним, якщо всі його межі - рівні між собою правильні багатокутники, з кожної його вершини виходить однакове число ребер і всі двогранні кути рівні. (У порівнянні з першим визначенням тут замість опуклості потрібно рівність усіх двогранних кутів.)

Існує рівно п'ять правильних багатогранників:

• Тетраедр (Правильна піраміда) - складається з 4 рівносторонніх трикутників.
• Октаедр - складається з 8 рівносторонніх трикутників, що сходяться по 4 в кожній вершині.
• Гексаедр (Куб) - складається з 6 квадратів.
• Додекаедр - складається з 12 правильних п'ятикутників.
• Ікосаедр - складається з 20 рівносторонніх трикутників, що сходяться по 5 в кожній вершині.

Інших правильних багатогранників не існує. Це легко зрозуміти, якщо врахувати, що в кожній вершині правильного багатогранника повинно сходитися не менше трьох граней і при цьому сума їх плоских кутів повинна бути менше 360 °. У правильних трикутників кути становлять 60 °. Це означає, що в вершинах правильних багатогранників може сходитися 3, 4 або 5 таких граней, що відповідає тетраедр, откаедру і ікосаедр. Квадратів (кут 90 °) і п'ятикутників (кут 108 °) в одній вершині може сходитися тільки по три, що відповідає Гексаедр і додекаедр. Однакові правильні багатокутники з великим числом кутів не можуть утворювати тригранні кути, оскільки сума кутів трьох граней виходить більше або дорівнює 360 °.

Інші докази цього факту:

• П'ять піфагорових тел // Глава з книги Карла Сагана "Космос", СПб., Амфора, 2005.
• College.ru.

У всіх випадках доводиться лише те, що правильних багатогранників може бути не більше п'яти. З цих доказів ще не випливає, що хоч один такий багатогранник існує. Те, що всі п'ять дійсно можна побудувати - чудовий факт, що перевіряється відповідними геометричними побудовами. На цьому факті зазвичай не акцентують увагу, так як правильні багатогранники були відомі з глибокої давнини, і ніхто не сумнівався в їх існуванні.

Джерела:

• Клюєва Т.І., Зімін Р.Н., Моделі багатогранників. Посібник для учнів. - Наводяться зображення і розгортки правильних багатогранників.
• Правильний багатогранник // Вікіпедія
• Правильні багатогранники // College.ru
• Правильні багатогранники - Наводяться формули для площ і обсягів правильних багатогранників.

Додатково в базі даних Генона:

• Про тетраедра