Теорема Піфагора - одна з основоположних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого і названа.
Формулювання теореми: У всякому прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
Позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b, отримуємо наступне рівність:
a2 + b2 = C2
Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, що дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника за двома іншими.
Також вірно зворотне твердження (зване зворотного теоремою Піфагора):
Для всякої трійки позитивних чисел a, b і c, такий що a2 + b2 = C2, існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.
Відеоурок з доказом теореми Піфагора.
Доказ
Відомо більше ста доказів теореми Піфагора. Нижче наведено доказ засноване на теоремі існування площі фігури:
1. Розташуємо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на цьому малюнку.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, так як сума двох гострих кутів дорівнює 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (A + b), а з іншого боку сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і внутрішнього квадрата.
(A + b)2 = 4middot- (ab / 2) + c2 (З урахуванням формули для площі прямокутного трикутника)
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
c2 = A2 + b2
Що і треба було довести.
Узагальнення
Для довільних трикутників вірна теорема косинусів, що є Обощение теореми Піфагора:
a2 = B2 + c2 - 2 b c cos alpha-,
де alpha- - кут між сторонами b і c.
У прямокутній (декартовій) системі координат на площині теорема Піфагора дозволяє обчислити квадрат відстані R між двома точками a і b з відомими координатами (X1, y1) і (X2, y2):
R2 = (X2 - x1)2 + (Y2 - y1)2.
Ця формула допускає узагальнення на тривимірний простір:
R2 = (X2 - x1)2 + (Y2 - y1)2 + (Z2 - z1)2,
а також на n-мірний простір:
R2 = sum-i = 1, ..., n(Ai - bi)2,
в якому точки a і b мають відповідно координати (A1, ..., an) і (B1, ..., bn).
Джерело: Вікіпедія
Посилання:
- Сайт, присвячений теоремі Піфагора
- Деякі доведення теореми Піфагора
Додатково: