Що таке теорема Піфагора?

Теорема Піфагора - одна з основоположних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого і названа.

Формулювання теореми: У всякому прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b, отримуємо наступне рівність:

a² + b² = C²

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, що дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника за двома іншими.

Також вірно зворотне твердження (зване зворотного теоремою Піфагора):
Для всякої трійки позитивних чисел a, b і c, такий що a² + b² = C², існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

Відеоурок з доказом теореми Піфагора.

Доказ

Відомо більше ста доказів теореми Піфагора. Нижче наведено доказ засноване на теоремі існування площі фігури:

1. Розташуємо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на цьому малюнку.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, так як сума двох гострих кутів дорівнює 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (A + b), а з іншого боку сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і внутрішнього квадрата.

(A + b)² = 4middot- (ab / 2) + c² (З урахуванням формули для площі прямокутного трикутника)
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
c² = A² + b²

Що і треба було довести.

Узагальнення

Для довільних трикутників вірна теорема косинусів, що є Обощение теореми Піфагора:

a² = B² + c² - 2 b c cos alpha-,

де alpha- - кут між сторонами b і c.

У прямокутній (декартовій) системі координат на площині теорема Піфагора дозволяє обчислити квадрат відстані R між двома точками a і b з відомими координатами (X₁, y₁) і (X₂, y₂):

R² = (X₂ - x₁)² + (Y₂ - y₁)².

Ця формула допускає узагальнення на тривимірний простір:

R² = (X₂ - x₁)² + (Y₂ - y₁)² + (Z₂ - z₁)²,

а також на n-мірний простір:

R² = sum-_{i = 1, ..., n}(A_i - b_i)²,

в якому точки a і b мають відповідно координати (A₁, ..., a_n) і (B₁, ..., b_n).

Джерело: Вікіпедія

Посилання:

• Сайт, присвячений теоремі Піфагора
• Деякі доведення теореми Піфагора

Додатково:

• Яка біографія Піфагора?
• Як знайти площу прямокутного трикутника?
• Як знайти площу довільного трикутника?
• Як довести теорему косинусів?