Визначник, або детермінант - одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. Визначник матриці розміру n - n дорівнює орієнтованому n-мірному обсягом паралелепіпеда, натягнутого на її вектори-рядки (або стовпці).
Для матриці n - n визначник виражається у вигляді многочлена ступеня N від елементів матриці який являє собою суму добутків елементів матриці зі всілякими комбінаціями розрізняються номерів рядків і стовпців, причому в кожному з творів елемент з будь-якого рядка і будь-якого стовпця рівно один. Кожному твору приписується знак плюс або мінус в залежності від парності перестановки номерів.
Якщо елементами матриці є числа, то визначник - це теж число. У загальному випадку визначник може бути функціональним, векторним і т.п., тобто, представляти собою інші вирази, складені з елементів.
Визначник матриці n - n задається формулою:
n!
det (A) = | A | = Sigma- (-1)p (i) - a1k (i1)a1k (i2)...ank (in)
i = 1
де
- |A| І det(A) - так позначається визначник,
- kij i-я перестановка послідовності k1 = 1, ..,n, тобто, k1j = j
- p(i) Кількість перестановок пар номерів у послідовності k1j, необхідне для того, щоб вона перетворилася в послідовність kij.
Таким чином, можна виділити наступні особливості побудови вирази для визначника матриці n - n:
- вираз є сума членів, кожен з яких складається з n співмножників
- кількість доданків в сумі дорівнює кількості перестановок n номерів, тобто, n!
- номери рядків і стовпців елементів, що входять в один доданок, не повторюються
- доданки входять в суму або з плюсом, або з мінусом, залежно від парності перестановки
- доданок з елементів головної діагоналі матриці, тобто, a11 a22 ... ann входить з плюсом
Нижче дані правила складання визначників для матриць 2 - 2 і 3 - 3, які є більш наочними.
Визначник матриці 2 - 2
Для обчислення визначника матриці розміром 2 - 2 перемножуються її елементи, які стоять на головній діагоналі і з них віднімається твір решти елементів:
| A | = a11 a22 - a12 a21
Визначник матриці 3 - 3
Для обчислення визначника матриці розміром 3 - 3 будується шість творів наступним чином:
| A | = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Властивості предільника
- Якщо матрицю транспонувати (зробити рядки стовпцями), то визначник не зміниться.
- Наступні властивості визначників, що стосуються рядків, справедливі також і для стовпців.
- Якщо у матриці переставити два рядки, то її визначник змінить знак.
- Якщо два рядки матриці збігаються, то її визначник дорівнює нулю.
- Якщо хоча б один рядок нульова, то визначник дорівнює нулю.
- При додаванні до будь рядку лінійної комбінації інших рядків визначник не зміниться.
- Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
- Визначник косотреугольной матриці дорівнює добутку її елементів побічної діагоналі зі знаком (-1)n (n-1) / 2
- det (AB) = Det (A) Det (B)
- det (AT) = Det (A)
Джерела та додаткова інформація: