Колінеарні вектори
Колінеарними називаються вектори, лежать на паралельних прямих (або на одній і тій же прямій).
Колінеарні вектори можуть мати одне і те ж напрям (равнонаправленних вектори) або протилежні напрямки.
Два ненульових вектора рівні, якщо вони равнонаправлени і мають один і той же модуль. Всі нульові вектори вважаються рівними.
Умова коллінеарності векторів
Якщо вектори a(X1,y1,z1) І b(X2,y2,z2) Колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні:
x2/ X1 = Y2/ Y1 = Z2/ Z1
І назад: якщо відповідні координати векторів пропорційні, то вектори ці - колінеарні.
Якщо коефіцієнт пропорційності lambda- = x2/ X1 = Y2/ Y1 = Z2/ Z1 позитивний, то вектори a і b равнонаправлени, а якщо від'ємний - то протилежно спрямовані.
Наприклад:
- вектори АВ(3, 5, 8) і CD(6, 10, 16) колінеарні;
- вектори АВ(-12, -8, -22) І CD(6, 4, 11) колінеарні;
- вектори АВ(-10, -8, -21) І CD(6, 5, 11) НЕ колінеарні
Компланарні вектори
Три вектора (або більше їх число) називаються компланарними, якщо вони, будучи приведені до загального початку, лежать в одній площині.
Якщо хоча б один з трьох векторів - нульовий, то три вектора також вважаються компланарними.
Компланарність векторів, доказ їх компланарності
Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів a, b, c є рівність нулю їх змішаного твори.
Наприклад:
- вектори AB(2, 1, 3), CD(-2, 8, 12), EF(3, 15, 27) компланарні;
- вектори AB(-4, 2, -6), CD(-1, -4, 6), EF(-2, 10, -18) компланарні.
Змішане твір векторів
Змішаним (або векторно-скалярним) твором трьох векторів a, b, c називається скалярний добуток вектора а на векторний добуток b-c, тобто число а(b-c), Або, що те ж, (b-c)а.
Для того, щоб знайти змішане твір трьох векторів a, b і c, заданих своїми координатами a(Ax,ay,az), b(Bx,by,bz), c(Cx,cy,cz), Потрібно певним чином скласти визначник третього порядку. У першому рядку визначника записуємо координати першого вектора, у другому рядку - другого, у третій - третього:
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
і обчислюємо визначник. Результат обчислень і є шукане змішане твір трьох векторів.
Наприклад, змішане твір векторів a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9) дорівнює 90.
Змішане твір abc трьох некомпланарних векторів a, b, c дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c, взятому зі знаком «плюс», якщо система a, b, c - права, і зі знаком «мінус», якщо ця система ліва.
Іноді питання задають так: «Чому дорівнює об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b і c?». Як вже відомо, дорівнює він змішаного добутку векторів a, b і c. Якщо результат виявиться зі знаком «мінус», то результат, звичайно ж, потрібно взяти по модулю.
Наприклад, обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9), дорівнює 90 кубічних одиниць.
Обсяг піраміди, побудованої на векторах
Обсяг піраміди, побудованої на векторах a, b і c, дорівнює 1/6 об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b і c.
Якщо відомі координати вершин A, B, C, D піраміди, то послідовність дій для знаходження її обсягу наступна:
- знаходимо координати векторів AB, AC і AD;
- знаходимо 1/6 змішаного добутку векторів AB, AC і AD (Результат обчислень беремо зі знаком «плюс»).
Наприклад, дані вершини піраміди ABCD:
- A(5, 0, 14);
- B(-7, 16, 9);
- C(14, -5, 17);
- D(15, 11, -2).
Знаходимо координати векторів AB, AC і AD:
- AB = (-7-5, 16-0, 9-14) = (-12, 16, -5);
- AC = (14-5, -5-0, 17-14) = (9, -5, 3);
- AD = (15-5, 11-0, -2-14) = (10, 11, -16).
Обчислюємо 1/6 змішаного добутку векторів AB, AC і AD.
V = 1/6 middot- 1475 = 245,83 кубічних одиниць.
Джерела:
- М.Я. Вигодський. Довідник з вищої математики.
- В.Д. Черненко. Вища математика в прикладах і задачах. У 3 томах. Том 1.
Додатково:
- Що таке визначник матриці?
- Як знайти визначник матриці?
- Якими властивостями володіє визначник матриці?