ГЕОМЕТРІЯ - розділ математики, що вивчає просторові відносини і форми, а також інші відносини і форми, подібні з просторовими за своєю структурою. Слово "геометрія" - грецьке, у перекладі на російську мову означає "землемерие". Така назва пов'язана із застосуванням геометрії для вимірювань на місцевості.
Геометрія в первинному значенні є наука про фігури, взаємне розташування і розмірах їх частин, а також про перетворення фігур. Це визначення цілком узгоджується з визначенням геометрії як науки про просторові форми і відносинах. Дійсно, фігура, як вона розглядається в геометрії, і є просторова форма. Тому в геометрії говорять, наприклад, "куля", а не "тіло кулястої форми". Розташування та розміри визначаються просторовими відносинами. Нарешті, перетворення, як його розуміють у геометрії, також є деяке відношення між двома фігурами - даної і тієї, в яку вона перетвориться.
У сучасному, більш загальному сенсі, геометрія обіймає різноманітні математичні теорії, приналежність яких до геометрії визначається не лише схожістю (хоча часом і досить віддаленим) їх предмета зі звичайними просторовими формами і відносинами, але також тим, що вони історично склалися і складаються на основі геометрії в первісному її значенні і в своїх побудовах виходять з аналізу, узагальнення та видозміни її понять. Геометрія в цьому загальному сенсі тісно переплітається з іншими розділами математики і її кордони не є точними.
ІСТОРІЯ І РОЗВИТОК ГЕОМЕТРИИ
Батьківщиною геометрії вважають звичайно Вавилон і Єгипет. Грецькі письменники одностайно сходяться па те, що геометрія виникла в Єгипті і звідти була перенесена в Елладу.
Перші кроки культури всюди, де вона виникала, в Китаї, в Індії, в Ассирії, в Єгипті, були пов'язані з необхідністю вимірювати відстані і ділянки на землі, обсяги і ваги матеріалів, продуктів, товарів-перші значні споруди вимагали нівелювання, витриманої вертикалі, знайомства з планом і перспективою. Необхідність вимірювати проміжки часу вимагала систематичного спостереження над рухом світил, а отже, вимірювання кутів. Все це було нездійсненно без знайомства з елементами геометрії, і у всіх названих країнах основні геометричні уявлення виникали частиною незалежно один від одного, частиною - в порядку преемственной передачі.
Грецькі автори пов'язують появу геометрії з ім'ям Фалеса Мілетського (639-548), вся наукова діяльність якого зображується греками в напівміфічному світлі, так що точно її відновити неможливо. Достовірно, мабуть, те, що Фалес в молодості багато подорожував по Єгипту, мав спілкування з єгипетськими жерцями і у них навчився багато чого, в тому числі геометрії. Повернувшись на батьківщину, Фалес оселився в Мілеті, присвятивши себе заняттям наукою, і оточив себе учнями, що утворили так звану іонійської школи. Фалесу приписують відкриття низки основних геометричних теорем (наприклад, теорем про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів і т. П.). Важливіше, мабуть, інше.
В умовах швидко розвивалася архітектури, мореплавання, цивільної та військової техніки, в умовах розгортається вже у зв'язку з цим досліджень в області астрономії, фізики, механіки, які вимагали точних вимірювань, не тільки дуже скоро виявилися протиріччя і неправильності єгипетської геометрії, а й у виправленому вигляді її убогий матеріал перестав задовольняти зрослим потребам. Елементарні прийоми безпосереднього спостереження східній геометрії були безсилі перед новими завданнями. Щоб їх вирішити, було необхідно відірвати геометрію від безпосередніх завдань вимірювання полів і будівлі пірамід, - завдань, вузьких при всій їх важливості, - і поставити їй незмірно більш широкі завдання.
Цій тенденції і належить був початок Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрію в область набагато більш широких уявлень і завдань, надала їй теоретичний характер і зробила її предметом тонкого дослідження, в якому разом з інтуїцією починає грати видну роль і абстрактна логіка. Абстрактно-логічний характер геометрії, який в іонійської школі тільки намічався, затягнувся, правда, дещо містичним флером упіфагорійців, прийняв у Платона і Аристотеля більш здорові форми і в Олександрійській школі знайшов своє завершення.
Саме слово «геометрія» недовго зберігає своє первинне значення - вимірювання землі. Вже Аристотель ввів для такого виміру новий термін - геодезія. Однак і зміст цієї нової дисципліни скоро теж стали розуміти в більш широкому сенсі, який може бути найкраще передається сучасним терміном "метрична геометрія". У працях Фалеса, Піфагора, Платона, Демокріта, Гіпократа, Дінострат, Никомеда, Аристотеля, якщо назвати тільки найважливіших, з надзвичайною швидкістю виробляються встановлення і систематизація фактичного матеріалу класичної геометрії.
Потрібно відзначити, що нам відомі лише розрізнені ланки в цілісній ланцюга розвитку геометрії. Близько IV ст. до н. е. вже стали з'являтися зведені твори під назвою "Початки геометрії", що мали завданням систематизувати видобутий геометричний матеріал. Такі "Початки" за свідченням Прокла, склали Гіппократ Хиосский, Феодосії з Магнезії, Гієронім Колофонскій та ін. Жодне з цих творів до нас не дійшло: всі вони втратили своє значення і були забуті, коли з'явилося чудове керівництво по геометрії - "Початки" Евкліда, який жив в кінці IV - початку III ст. до н. е.
Евклід жив в Олександрії в епоху, коли там утворився найбільш великий центр грецької наукової думки. Спираючись на праці своїх попередників, Евклід створив глибоко продуману систему, сохранявшую керівну роль протягом понад двох тисяч років. Його "Початки" зробилися підручником, за яким протягом двох тисячоліть навчалися геометрії юнаки та дорослі. Навіть ті підручники, за якими ведеться початкове навчання геометрії в наш час, по суті являють собою переробку "Почав" Евкліда.
Занепад античного суспільства призвів до порівняльного застою в розвитку геометрії, проте вона продовжувала розвиватися в Індії, в Середній Азії, в країнах арабського Сходу.
Відродження наук і мистецтв в Європі спричинило подальший розквіт геометри. Принципово новий крок був зроблений в першій половині XVII ст. Рене Декартом, який вввл в геометрію метод координат. Метод координат дозволив зв'язати геометрію з розвивалася тоді алгеброю і зароджуються аналізом. Застосування методів цих наук у геометрії породило аналітичну геометрію, а потім і диференціальну. Геометрія перейшла на якісно новий щабель у порівнянні з геометрією древніх.
Наступний період у розвитку Геометрія відкривається побудовою Миколою Івановичем Лобачевским в 1826 році нової, неевклідової геометрії, званої тепер геометрією Лобачевського. Незалежно від Лобачевського в 1832 ту ж геометрію побудував Янош Больяй (ті ж ідеї розвивав Карл Фрідріх Гаус, але він не опублікував їх).
Головна особливість нового періоду в історії геометрії, розпочатого Лобачевским, полягає у розвитку нових геометричних теорій - нових "геометрій" і у відповідному узагальненні предмета. Виникає поняття про різного роду "просторах". При цьому одні теорії складалися всередині евклідової геометрії у вигляді її особливих глав і лише потім отримували самостійне значення.
У той же період зародилася топологія як вчення про ті властивості фігур, які залежать лише від взаємного дотику їх частин і які тим самим зберігаються при будь-яких перетвореннях, що не порушують і не вводять нових дотиків, т. Е. Відбуваються без розривів і склеювання. У 20 в. топологія розвинулася в самостійну дисципліну.
Так Геометрія перетворилася на розгалужену і швидко розвивається в різних напрямках сукупність математичних теорій, що вивчають різні простору (евклидово, Лобачевського, проективне, ріманови і так далі) і фігури в цих просторах.
КЛАСИФІКАЦІЯ розділ геометрії
Загальноприйняту в наші дні класифікацію різних розділів геометрії запропонував Фелікс Клейн у своїй "Ерлангенском програмі" (1872). Згідно Клейну, кожен розділ вивчає ті властивості геометричних об'єктів, які зберігаються (інваріантні) при дії певної групи перетворень, специфічною для кожного розділу. Відповідно до цієї класифікації, у класичній геометрії можна виділити наступні основні розділи.
Евклідова геометрія - система геометрії, заснована на аксіомах, сформульованих в книзі Евкліда "Начала". Виходячи з набору самоочевидних положень (аксіом) і користуючись жорсткою логікою, Евклід прийшов до ряду важливих результатів. Його висновки вважалися абсолютною істиною в застосуванні до фізичного світу протягом майже 2000 років. Тільки в XIX в. було показано, що аксіоми Евкліда не є універсальними і вірні не у всяких обставинах.
Основні відкриття геометричних систем, в яких аксіоми Евкліда не вірні, були зроблені Миколою Івановичем Лобачевским і Георгом Ріманом. Про них говорять як про творців неевклідової геометрії. Найбільш вражаючою рисою неевклідової геометрії є той факт, що дві прямі лінії, паралельні в одній частині простору, можуть перетнутися в інший. Альберт Ейнштейн, розробляючи загальну теорію відносності, прийшов до висновку, що геометрія Всесвіту, в якій ми живемо, є неевклідової. Однак Евклідова геометрія раніше залишається справедливою при описі систем і явищ, з якими ми стикаємося в повсякденному житті.
У евклидову геометрію входять також підрозділи: планіметрія - розділ геометрії, який досліджує фігури на площині, і стереометрія - розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі.
Проективна геометрія - розділ геометрії, що вивчає проектні властивості фігур. Відрізняється від евклідової геометрії тим, що в ній не використовуються поняття паралельності, перпендикулярності та рівності відрізків і кутів і передбачається, що будь-які дві прямі на площині мають загальну точку. Тісно пов'язана з перспективою, проективна геометрія площині займається вивченням властивостей і відносин, які залишаються незмінними при проектуванні плоскої фігури на іншу площину.
Вважається очевидним факт, що дві прямі, що лежать в одній площині і мають загальний перпендикуляр, паралельні, тобто перетнуться, як би далеко їх ні продовжували. Однак якщо подивитися на залізничні рейки, що є паралельними прямими, то безумовно здасться, що вони перетинаються на горизонті. Припустивши, що будь-які дві прямі перетинаються, отримуємо систему тверджень, настільки ж логічно несуперечливу, як і відмінна від неї система тверджень евклідової.
Плоска проективна геометрія займається вивченням геометричних властивостей, не змінних при центральному проектуванні. Прикладом такого проектування може служити тінь від абажура лампи, падаюча на стіну або на підлогу. Зазвичай світлове пляма має круглу або еліптичну форму на підлозі і гіперболічний - на стіні. Таким чином, в проективної геометрії немає звичного відмінності між окружністю, еліпсом, параболою і гіперболой- це просто конічні перетину, подібні один одному. Якщо художник малює кахельну підлогу на вертикальному полотні, квадратні плитки вже не здаються квадратами, так як їх сторони і кути спотворюються, але лінії, на яких лежать боку, залишаються прямими. Тому проективна геометрія має справу з трикутниками, чотирикутниками, але не з прямокутними трикутниками, паралелограма і так далі.
Афінна геометрія (Лат. Affinis - споріднений) - розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур, що зберігаються при будь-яких афінних перетвореннях, або, що рівносильно, при паралельній проекції.
До понять аффинной геометрії відносяться такі, як паралельність, паралелограм, середня лінія, паралелепіпед, до аффінним фактам - теорема Фалеса, теорема про перетин медіан трикутника, теорема про ставлення площ трикутників із загальним кутом та інші. Навпаки, такі поняття, як перпендикулярність, ромб, бісектриса, прямий кут, окружність в аффинной геометрії сенсу не мають. Можна сказати, що до аффинной геометрії належать ті геометричні об'єкти і властивості, які описуються через поняття точка, пряма, площина, паралельність, просте ставлення трьох колінеарних точок, або відношення, в якому точка ділить відрізок, відношення площ фігур, відношення обсягів.
Аффинную геометрію можна також визначити як розділ геометрії, що вивчає властивості аффинной площині або афінного простору, які, в свою чергу, визначаються аксіоматично.
Нарисна геометрія - розділ геометрії, в якому просторові фігури, що представляють собою сукупність точок, ліній, поверхонь, вивчаються по їх проекційним зображенням на площині (або який-небудь іншій поверхні).
Основними завданнями нарисної геометрії є: створення методу зображення геометричних фігур на площині (поверхні) та розробка способів вирішення позиційних і метричних задач, пов'язаних з цими фігурами, за допомогою їх зображень на площині (поверхні) -
Нарисна геометрія є теоретичною базою для складання креслення. Рішення задач способами нарисної геометрії здійснюється графічним шляхом. Найпростішою геометричній операцією, яку доводиться виконувати в процесі вирішення, є визначення точки перетину двох ліній. Внаслідок того, що всі геометричні побудови здійснюються за допомогою тільки лінійки і циркуля, лініями, точку перетину яких слід визначати, є прямі та кола. Іншими словами, шляхом проведення відрізків прямих і дуг кіл (в окремих випадках ділянок лекальних кривих) в певній послідовності, яка встановлюється теоремами і правилами нарисної геометрії, можна вирішувати складні завдання з різних галузей науки і техніки.
Можливість розчленування процесу вирішення завдань на виконання елементарних, однотипних операцій дозволяє отримати ітераційні способи вирішення завдань, які легко і природно можуть бути автоматизовані за допомогою обчислювальної техніки. Використання нарисної геометрії є раціональним при конструюванні складних поверхонь технічних форм з наперед заданими параметрами, застосовуваних в авіаційній та автомобільній промисловості, при створенні корпусів суден і суднових рушіїв і в багатьох інших областях техніки. Досягнення багатовимірної нарисної геометрії знаходять застосування при дослідженні діаграм стану багатокомпонентних систем і сплавів в тих випадках, коли інші способи дослідження виявляються надзвичайно складними і не забезпечують необхідної точності.
Багатовимірна геометрія - геометрія просторів розмірності, більшою трьох. Термін застосовується до тих просторів, геометрія яких була спочатку розвинена для випадку трьох вимірів і тільки потім узагальнена на більше число вимірювань. В даний час поділ тривимірної і багатовимірної геометрій має головним чином історичне і педагогічне значення, оскільки завдання ставляться і вирішуються для будь-якого числа вимірів, коли і оскільки це осмислено.
Історично уявлення про більш ніж тривимірному просторі зароджувалося поступово, спочатку на грунті геометричного уявлення ступенів: а2 - "Квадрат", а3 - "Куб", але а4, а5 і так далі вже не мають наочного уявлення, тому говорили, що а4 - "Біквадрат", а5 - "Кубо-квадрат" і так далі.
Неевклидова геометрія - самодостатня геометрія, яка використовує набір аксіом, відмінних від аксіом евклідової геометрії, зокрема, не включає постулату про паралельні прямі. П'ятий постулат Евкліда являє собою твердження, що якщо точка лежить поза прямою, то через цю точку можна провести тільки одну пряму, не що перетинає першу пряму. На початку XIX ст. Янош Больяи і, незалежно від нього, Микола Іванович Лобачевський розробили геометричні системи, в яких могло б існувати нескінченне число паралельних прямих. Ця система, звана гіперболічній неевклідової геометрією, була самодостаточной- це означає, що в ній немає непереборних протиріч з результатами, отриманими на підставі постулатів. Пізніше Георг Ріман запропонував систему (еліптичну геометрію), в якій не може існувати ні однієї паралельної прямій. Розробки цих систем проливають світло на фундаментальну природу геометрії. Неевклидова теорія також використовується в теорії відносності.
ПОСИЛАННЯ:
- словники та енціклопеціі-
- нарисна геометрія-
- історія геометріі-
- розвиток геометрії.